Абсолютная погрешность — разность между измеренным и опорным значениями величины. Её выражают в тех же единицах, что и измеряемую величину. Относительная погрешность — отношение этой разности к опорному значению. Разберём формулы на учебных примерах и покажем, почему погрешность измерения нельзя подменять отклонением детали от чертежа.
Абсолютная и относительная погрешность: что показывает каждая
Абсолютная погрешность показывает разность между измеренным и опорным значениями в миллиметрах, микрометрах или других единицах измеряемой величины. Относительная погрешность соотносит эту разность с опорным значением. Её выражают в долях либо процентах. Эти показатели описывают одно расхождение, но отвечают на разные вопросы: какова разность и какую долю опорного значения она составляет.
Обозначим измеренное значение через x, опорное — через x_ref. Определение погрешности дано в VIM, пункт 2.16: измеренное значение минус опорное значение. Здесь и далее ссылки на VIM и GUM раскрыты в разделе «Источники».
| Показатель | Формула | Единицы |
|---|---|---|
| Абсолютная погрешность | Δ = x − x_ref | Единицы измеряемой величины |
| Относительная погрешность | δ = Δ / x_ref, при x_ref ≠ 0 | Безразмерная величина |
| Относительная погрешность в процентах | δ% = (Δ / x_ref) × 100% | Проценты |
Слово «абсолютная» здесь не означает, что нужно взять модуль. Разность сохраняет знак.
Без опорного значения вычислить Δ по этой формуле нельзя. Характеристика прибора из паспорта не заменяет неизвестную разность между конкретным результатом и опорой.
Разность, модуль, поправка и граница погрешности
Наружный, внутренний и глубинный микрометры. Фото: Splarka at English Wikipedia · Public domain
Знак погрешности показывает направление расхождения: положительный означает завышение относительно опорного значения, отрицательный — занижение. Модуль |Δ| описывает величину расхождения без направления. Поправка служит для компенсации оценённого систематического влияния. Предел допускаемой погрешности задаёт допустимые крайние значения ошибки при оговорённых условиях, а не фактическое смещение каждого показания.
Для учебного примера примем x_ref = 20,00 мм и x = 20,03 мм. Тогда:
Δ = 20,03 − 20,00 = +0,03 мм.
|Δ| = 0,03 мм.
Если эта разность принята в модели как оценка аддитивного систематического смещения, соответствующая поправка равна −0,03 мм. Такое применение поправки описано в GUM, пункт 3.2.3. Одного наблюдения недостаточно, чтобы обосновать её перенос на другие размеры и условия.
Предел ±a означает границы от −a до +a. Он не даёт основания вычитать a из показания. Определение предела допускаемой погрешности приведено в VIM, пункт 4.26.
Номинал чертежа — другая точка сравнения. Разность между измеренным размером детали и номиналом показывает отклонение от заданного размера. Сама по себе она не показывает ошибку измерения.
Как рассчитать относительную погрешность
Для расчёта относительной погрешности абсолютную погрешность делят на опорное значение. Чтобы получить проценты, отношение умножают на 100%. Числитель и знаменатель должны выражаться в одинаковых единицах. Если требуется сравнить величину расхождения без направления, используют модуль отношения. В исходном расчёте знак сохраняют, чтобы было видно завышение или занижение.
Продолжим учебный пример:
δ% = (+0,03 / 20,00) × 100% = +0,15%.
Если условное опорное значение равно 100,00 мм, а погрешность остаётся +0,03 мм:
δ% = (+0,03 / 100,00) × 100% = +0,03%.
Разность та же, доля меньше.
При x_ref = 0 формула неприменима: деление на ноль не определено. Вблизи нуля отношение может быть большим даже при небольшой абсолютной разности.
Подстановка показания x вместо x_ref меняет расчёт. Если такое приближение используют, его нужно назвать и обосновать. Процент, рассчитанный по пределу допускаемой погрешности, также нельзя выдавать за известную относительную погрешность конкретного измерения.
Откуда берётся погрешность и с чем сравнивают результат
Аналитические весы модели AE-260 производства Mettler. Фото: US DEA · Public domain
Опорное значение — значение, принятое за основу сравнения. Оно тоже может иметь неопределённость: это прямо отмечено в VIM, пункт 5.18. Поэтому сравнение с мерой не делает результат безошибочным. В оценке измерения важно учитывать не только показание инструмента, но и сведения об опоре, методе и условиях.
VIM различает систематическую и случайную составляющие погрешности. Систематическая при повторениях остаётся постоянной или меняется предсказуемо; случайная меняется непредсказуемо. Эти определения приведены в пунктах 2.17 и 2.19.
Причины расхождения удобно проверять отдельно:
- состояние инструмента и установка нуля;
- выбор сечения и способ базирования детали;
- загрязнение контактных поверхностей, перекос и усилие;
- температурные условия детали и инструмента.
Этот перечень — направления проверки, а не готовые поправки.
Нельзя назначить температурную поправку, зная лишь, что деталь нагрета. Для расчёта нужна модель с исходными данными. Ошибку записи тоже нельзя устранить усреднением: сначала нужно разобраться с исходными наблюдениями.
Как оценить погрешность по документации прибора
Документация прибора помогает выяснить, какие характеристики заданы изготовителем и при каких условиях они применимы. Для выбора инструмента полезно сопоставить диапазон измерений, разрешение, предел допускаемой погрешности и условия использования. Эти сведения отвечают на разные вопросы. Ни одно из них по отдельности не описывает всю неопределённость измерения детали.
Разрешение характеризует различимое изменение показания, а не известную ошибку. VIM даёт определение разрешения в пункте 4.14, предела допускаемой погрешности — в пункте 4.26.
Мелкий шаг отсчёта не заменяет оценку измерения.
Для практического расчёта нужны руководство своей модели, сведения о конкретном экземпляре и выбранный метод контроля. Характеристики похожего инструмента нельзя переносить без основания.
В учебных формулах неизвестный предел можно обозначить буквой a. Для заключения о реальной детали этого недостаточно: символ помогает показать ход расчёта, но не даёт недостающих исходных данных.
Пример оценки результата при контроле размера детали
Для учебной детали примем показание 20,03 мм и независимо установленную аддитивную поправку −0,03 мм. Исправленное значение получится равным 20,00 мм. Это только арифметический шаг. Числовую неопределённость мы не вычисляем: в примере нет данных об инструменте, неопределённости поправки, повторяемости и других влияниях, необходимых для такой оценки.
Порядок работы можно представить так:
- Определить измеряемый размер, сечение и способ базирования.
- Собрать характеристики инструмента, сведения о поправке и условиях измерения.
- Применить поправку: 20,03 + (−0,03) = 20,00 мм.
- Построить модель измерения и оценить существенные вклады в неопределённость.
- Записать результат, единицу и смысл сопровождающей оценки.
Исправление показания не устраняет неопределённость.
GUM, пункт 3.2.3, отдельно поясняет: поправка компенсирует оценённое систематическое влияние, но сама оценка не может считаться точной. Поэтому рядом с 20,00 мм нельзя произвольно дописать числовое «±».
Что дают повторные измерения и усреднение
Повторные измерения позволяют оценить разброс наблюдений и рассчитать среднее. При этом сохраняющееся систематическое смещение остаётся и в среднем результате. Разброс отдельных показаний и неопределённость среднего — разные показатели. Формулы GUM, раздел 4.2, относятся к независимым наблюдениям одной величины при одинаковых условиях измерения; эти предпосылки нужно проверить.
Среднее для n наблюдений:
x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n.
Если s — выборочное стандартное отклонение наблюдений, стандартную неопределённость среднего оценивают как:
u_A(x̄) = s / √n.
Эта запись соответствует формулам раздела 4.2 GUM. Она описывает вклад разброса наблюдений, а не полную неопределённость измерения.
Условные показания 20,02; 20,03; 20,04 мм дают среднее 20,03 мм. Общее для них смещение усреднение не уберёт.
Больше повторений — не замена проверке метода. При дрейфе показаний или изменении условий нельзя автоматически применять модель независимых наблюдений одной неизменной величины.
Как оценивать погрешность расчётной величины
Если результат вычисляют по нескольким измеренным величинам, оценку переносят через расчётную модель. Например, площадь прямоугольника A = ab зависит от обеих сторон. Сначала нужно различить исходные данные: известны границы возможных ошибок или стандартные неопределённости. Правила их объединения различаются, поэтому смешивать эти показатели в одной формуле нельзя.
Для положительных размеров a и b обозначим границы ошибок через a_err и b_err.
| Подход | Формула для площади | Ограничение |
|---|---|---|
| Граница абсолютной ошибки | E_A = b·a_err + a·b_err + a_err·b_err | Ошибки сторон ограничены заданными границами |
| Линейное приближение границы | E_A ≈ b·a_err + a·b_err | Произведением границ можно пренебречь |
| Стандартная неопределённость | u(A) ≈ √(b²u(a)² + a²u(b)²) | Входы некоррелированы, линейное приближение достаточно |
Первая формула следует из раскрытия произведения:
(a + ε_a)(b + ε_b) − ab = bε_a + aε_b + ε_aε_b.
Если |ε_a| ≤ a_err и |ε_b| ≤ b_err, модуль разности не превышает E_A. Это математическая граница при заданных предпосылках.
Формула для стандартной неопределённости опирается на закон распространения неопределённости из GUM, раздел 5. Для коррелированных входов в выражение для u²(A) добавляется член 2ab·cov(a,b), где cov(a,b) — ковариация.
Зависимость входных данных нельзя молча отбросить. Для другой функции потребуются её коэффициенты чувствительности.
Как записать результат и округлить оценку
В записи результата нужно различать значение величины и показатель, который его сопровождает. Неопределённость не равна известной погрешности и не служит готовой поправкой. VIM, пункт 2.26, определяет её как неотрицательный параметр, характеризующий рассеяние значений, приписываемых измеряемой величине. Основание этой оценки — использованная информация, а не известная разность с истинным значением.
Расширенную неопределённость записывают как U = k·u_c, где u_c — суммарная стандартная неопределённость, k — коэффициент охвата. Эта связь дана в GUM, раздел 6.
Коэффициент и интерпретацию охвата нужно пояснить.
Перед передачей протокола полезно проверить:
- к какому размеру и сечению относится результат;
- указана ли единица;
- раскрыт ли смысл сопровождающей оценки;
- согласованы ли разряды значения и оценки;
- приведены ли сведения об охвате, если сообщается расширенная неопределённость.
GUM, пункт 7.2.6, рекомендует избегать лишних цифр и согласовывать разряд результата с разрядом указанной неопределённости. Промежуточные вычисления лучше сохранять с запасом разрядов, чтобы округление не искажало итог.
Знак «±» без объяснения не сообщает, что именно оценено.
Погрешность, отклонение детали и допуск — разные величины
Отклонение размера от номинала и погрешность измерения используют разные основания сравнения. В первом случае размер сопоставляют с заданным номиналом, во втором — измеренное значение с опорным. При контроле детали дополнительно учитывают требования чертежа. Эти сравнения нельзя подменять друг другом: номинальный размер не становится известным фактическим размером изготовленной детали.
В учебной задаче можно задать любые допустимые границы. Но решение о приёмке реального изделия должно опираться на его документацию и согласованную процедуру.
Особого внимания заслуживает результат рядом с границей допуска.
GUM, пункт 0.3, прямо исключает из своей области правила использования неопределённости при установлении соответствия заданным допускам. Поэтому приведённые формулы сами по себе не задают правило приёмки детали. Пригодность такого правила для заказа нужно рассматривать отдельно.
При изготовлении деталей по чертежам предмет согласования — контролируемые размеры, метод измерения и критерий соответствия. Процент погрешности не заменяет эти условия.
Как уменьшить погрешность и согласовать контроль с изготовителем
Работа над измерением начинается с поиска причин расхождения. Для контроля деталей полезно проверить контакт поверхностей, базирование, условия и пригодность инструмента для выбранного метода. В заказе это связывают с чертежом: обозначают контролируемые размеры, требования к записи результатов и правило приёмки. Такой набор позволяет обсуждать конкретную процедуру, а не обещание «точного контроля».
Усреднение имеет смысл после проверки условий повторяемости. Поправка — после оценки соответствующего систематического влияния. Ни один из этих приёмов не заменяет другого.
Требования к контролю стоит закрепить до изготовления.
Чтобы обсудить контроль вместе с заказом, передайте чертёж для расчёта и отметьте размеры, от которых зависит сборка узла.
Частые вопросы
Может ли абсолютная погрешность быть отрицательной?
Да. В формуле Δ = x − x_ref отрицательный результат означает, что измеренное значение меньше опорного. Неотрицательным будет модуль |Δ|. Слово «абсолютная» в названии погрешности не отменяет знак разности.
Можно ли сравнивать результаты в миллиметрах и дюймах?
Да, после перевода в одинаковые единицы. Перевести нужно значения и сопровождающие размерные оценки. Только после этого можно вычислять разность или отношение.
Можно ли вычесть предел допускаемой погрешности из показания?
Нет, сам предел не сообщает известное смещение показания. Для исправления результата нужна обоснованная поправка. Предел допускаемой погрешности характеризует допустимые крайние значения ошибки при заданных условиях.
Почему повторные измерения не устраняют любую погрешность?
Усреднение помогает оценить влияние случайного разброса при подходящих предпосылках. Общее систематическое смещение остаётся в среднем. Его нужно оценивать отдельно, а неопределённость поправки учитывать в модели измерения.
Как сравнить протоколы заказчика и изготовителя, если результаты расходятся?
Сначала нужно сопоставить определение размера, сечение, базирование, условия, методы и оценки неопределённости. Затем проверить, относятся ли результаты к одной измеряемой величине и применено ли одинаковое правило приёмки. Одна разность показаний ещё не объясняет причину расхождения.
Источники
- International vocabulary of metrology — Basic and general concepts and associated terms (VIM), JCGM 200:2012 — . Пункт 2.16: погрешность — измеренное значение минус опорное. Пункты 2.17 и 2.19: систематическая составляющая постоянна или предсказуема, случайная меняется непредсказуемо. Пункт 2.26: неопределённость — неотрицательный параметр рассеяния приписываемых значений. Пункты 4.14 и 4.26 определяют разрешение и предел допускаемой погрешности. Пункт 5.18 указывает, что опорное значение обычно приводят с соответствующей неопределённостью.
- Evaluation of measurement data — Guide to the expression of uncertainty in measurement, JCGM 100:2008 — . Пункт 3.2.3: поправка компенсирует оценённое систематическое влияние, но не делает оценку точной. Раздел 4.2 содержит формулы среднего и его экспериментальной стандартной неопределённости. Разделы 5.1 и 5.2 описывают распространение неопределённости для некоррелированных и коррелированных входов. Раздел 6 задаёт связь U = k·u_c. Пункт 7.2.6 посвящён округлению и согласованию разрядов. Пункт 0.3 исключает из области руководства правила установления соответствия допускам.
